La première réunion accessible par le RER E

Un historique de toutes nos réunions

Table des matières

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mercredi 15 janvier 2025

La voix du secrétaire (Jean)

Présents à la réunion, en fonction de la disposition autour de la table :

Sébastien,
Richard,
moi,
Emmanuel,
et Sylvain.

Nous avons mangé des pizzas soleil, campione, margarita (et non pas napolitaine) et calzone sans fromage, une crème caramel, des profiteroles au chocolat, une mousse au chocolat et un tiramisu. Nous avons bu de l'orangina, de la menthe à l'eau, un kir, et de la bière. Le lemoncello était offert par la maison.

Nous avons parlé de Perl, informatique et points divers.

Perl

Emmanuel a contacté la Fondation pour le Progrès Humain à propos de notre Assemblée Générale. Il a demandé, en substance :
Pouvez-vous mettre à notre disposition une salle pour notre AG s'il-vous-plaît ? La date prévue est le 8 mars prochain, mais si la salle n'est pas disponible à cette date, nous pouvons déplacer l'AG au 1^er mars.
La réponse:
D'accord.
D'accord... pour le 8 mars ou pour le 1^er ?
Emmanuel a également reçu un message de Will Braswell lui annonçant la création prochaine d'un service (payant) diffusant des offres d'emploi authentiques pour Perl. Sommes-nous intéressés ? Pas vraiment.
Pourquoi préciser des offres d'emploi authentiques ? Il y a longtemps, j'ai entendu dire que certaines boîtes d'informatique soumettent des offres d'emploi pipeau uniquement pour faire parler d'elles, ou plus précisément pour se faire de la publicité. À l'époque, passer une petite annonce dans la presse spécialisée était nettement moins cher que d'acheter un quart de page dans la même revue.
Quant aux offres d'emploi pour Perl, nous ne sommes pas sûrs qu'elles soient intéressantes. Nous avons signalé que la plupart des projets cherchant des développeurs étaient des migrations de Perl vers autre chose. Cette remarque venait d'Ovid (Curtis Poe). Il paraît qu'Ovid a dit ou écrit que
Perl est le nouveau Cobol
pour décrire cet état de fait et pour prédire que Perl continuera à être utilisé dans l'ombre, en dehors du feu des projecteurs. Je n'ai pas retrouvé sur Internet de mention de cette déclaration. J'ai uniquement trouvé un article datant de l'époque où Raku s'appelait encore Perl 6 et montrant un point particulier associant Raku à Cobol.

Informatique

Pour les appareils électroniques, notamment les téléphones portables, des indices de réparabilité, de maintenabilité et autres ont été développés pour lutter contre l'obsolescence programmée. Sébastien donne le cas de son iPhone, qui était assez vieux, mais pour lequel Apple continuait à prévoir la réparation, à diffuser des patchs de sécurité et à mettre à disposition un « iStore ». Autrement dit, Apple « joue le jeu » pour lutter contre l'obsolescence programmée. Malgré cela, Sébastien a été contraint d'abandonner son vieil iPhone et d'en racheter un nouveau, parce que sa banque avait changé l'application pour l'authentification à deux facteurs et la nouvelle version n'était pas compatible avec l'ancien iPhone. Obsolescence programmée : la faute à qui?
Lorsque je suis arrivé à la pizzeria, j'ai pris une conversation en route, à propos de la supervision des systèmes informatiques. Ce sujet n'étant pas dans mes préoccupations ni dans mon domaine de compétences, je ne vais pas en rendre compte de manière détaillée. Notons juste un point que j'ai retenu. Lorsque le système automatique de supervision (Nagios, Centreon ou autre) détecte un problème, comment doit-il le remonter aux humains ? L'idée première est de créer un ticket dans un système. de suivi de requêtes. Une autre solution consiste à ajouter une entrée dans le logiciel de communication et de collaboration de la boîte, comme Mattermost ou Discord. Un avantage est que l'incident peut être pris en charge par toute personne présente et apte à le traiter, alors qu'un ticket pourrait être affecté à une personne absente (en dehors de sa plage de travail horaire, congé de courte durée). Un autre point est que les incidents n'arrivent jamais seul. Il y a d'abord quelques avertissements mineurs, puis quelques minutes plus tard des sujets plus sérieux, puis encore quelques minutes après un incident grave. L'avantage de la diffusion dans Discord ou Mattermost est que les personnes surveillant le canal de notification voient l'évolution du problème et sont plus à même d'apporter les solutions appropriées. Parfois même, avec un peu d'expérience, elles peuvent commencer leur intervention dès l'apparition des avertissements mineurs, avant le déclenchement de l'incident grave. L'inconvénient de ce mode de fonctionnement, c'est lorsque le département informatique est découpé en plusieurs équipes et que l'une de ces équipes (ou plusieurs) a un sentiment marqué de « territorialité ». Si l'incident se produit sur son « territoire », l'équipe refuse que d'autres prennent en charge cet incident.

Divers

Il y a sept mois, j'avais fait part de ma satisfaction à l'occasion de l'ouverture du tronçon ouest de la ligne E du RER jusqu'à Nanterre-la-Folie, car cela me fournissait une ligne directe pour aller de chez moi à la pizzeria directement, sans changement. Hélas, au mois de juin dernier, les horaires sur ce tronçon étaient de 10h à 16h en semaine et de 10h à 20h le samedi et le dimanche (des horaires dignes du métro marseillais, a-t-on fait remarquer). À titre très temporaire, les horaires avaient été légèrement étendus pendant les jeux olympiques et pendant les jeux paralympiques. Éh bien depuis le 15 décembre 2024, les horaires du tronçon ouest de la ligne E sont devenus normaux. J'ai donc pu venir en RER E de chez moi à la pizzeria, au lieu de prendre la ligne A puis la ligne 7 avec une correspondance à Auber. Même si personnellement je ne suis pas concerné, notons que les rames venant de Nanterre-la-Folie peuvent continuer au-delà de Magenta, jusqu'à Tournan-en-Brie ou jusqu'à Chelles-Gournay. D'autre part, même si je prends le RER E en dehors des heures de pointe, j'ai pu remarquer une nette évolution de l'affluence à l'occasion du changement du 15 décembre.
Pourquoi cette ouverture en deux temps, au mois de mai puis au mois de décembre ? Je pense que c'est parce la planification prévoyait une ouverture en mai, donc on a ouvert coûte que coûte en mai, avec un fonctionnement très réduit, pendant que les ouvriers effectuaient discrètement les derniers travaux. [ Cette source impute le retard à la livraison des rames nécessaires pour exploiter la ligne étendue. ]
Les applications et sites web calculant des itinéraires avec les transports en commun ne savent pas toujours traiter les requêtes qui nous intéressent réellement. Par exemple, on peut vouloir éviter telle ou telle correspondance, à cause de la longueur des couloirs, ou bien à cause de l'arrêt d'un escalier roulant (panne ou maintenance). Ou bien, préférer telle station à telle autre, car cela permet de finir par de la marche à pied dans des rues en descente. Par exemple, venir à la pizzeria par la station Magenta ou Gare du Nord (qui donnent, après un peu de marche à pied, sur le haut de la rue du Faubourg Poissonnière) et repartir par la station Poissonnière (en bas de la rue du Faubourg Poissonnière). Cela nous rappelle une remarque d'Olivier sur les stations Vélib' situées en altitude.
Quelqu'un se plaint de la correspondance à « Châtelet » entre la ligne B du RER et la ligne 7 du métro. Pour moi, la ligne B du RER dessert la station Les-Halles-Châtelet et la ligne 7 dessert la station Pont-au-Change-Châtelet. Pourquoi ce renommage ? À cause de la tendance des gens à tronquer le nom des stations : « Denfert » au lieu de « Denfert-Rochereau »; « Réaumur » au lieu de « Réaumur-Sébastopol », « Montparnasse » au lieu de « Montparnasse-Bienvenuë ». Avec ce renommage, les usagers comprendraient mieux qu'il y ait une longue correspondance entre « les Halles » et « Pont-au-Change », ce qui ne transparaît pas du tout lorsque les deux stations se font appeler « Châtelet ». [ Il me semblait avoir déjà traité de ce renommage lors de nos réunions mais je n'ai pas retrouvé quand. Il y a juste une brève évocation de la longueur de la correspondance. ]
Il y a eu récemment l'annonce d'une renumérotation des chaînes de télévision de la TNT. Cela permet une certaine rationalisation des numéros. Par exemple, comme Canal+ ne figurera plus sur la TNT, le numéro 4 est attribué à France 4. Également, les chaînes d'information continue sont rassemblées dans la même plage de numéros. Le seul inconvénient, c'est pour les parents de jeunes enfants, ou pour les personnes gardant des enfants. Avant, pour calmer les enfants, il suffisait de composer le numéro des pompiers, 18, sur la télécommande et on obtenait un dessin animé. Maintenant, pour obtenir Gulli, c'est le 12 qu'il faut taper et il n'y a pas de moyen mnémotechnique pour s'en souvenir.
Pour son repas, Sébastien avait commandé une pizza margarita. Or on lui a apporté une pizza napolitaine. Il a fait remarquer l'erreur et le patron a remporté la pizza napolitaine pour lui apporter une vraie pizza margarita après quelques minutes d'attente. Cela m'a rappelé un incident récurrent dans un restaurant d'entreprise que j'ai fréquenté il y a plusieurs années. Tous les jeudis, le restaurant d'entreprise proposait deux pizzas : une pizza simple (margarita ou napolitaine) et une pizza évoluée (quatre-saisons, saumon, reine, etc). Les pizzas étaient préparées sur un chariot, mais sans cuisson. Le cuisinier affecté au four à pizzas, connu par son surnom Doudou, les faisait cuire au fur et à mesure que des personnes lui en demandaient. Éventuellement, il en faisait cuire d'avance trois ou quatre. Le problème, c'est que les pizzas cuites d'avance étaient toujours des pizzas évoluées, jamais des pizzas simples. Il arrivait même assez souvent que des personnes demandent une pizza napolitaine et que Doudou les fasse poireauter en enfournant des pizzas quatre-saisons. Les clients attendaient parfois un quart d'heure, voire 20 minutes, que Doudou condescende à faire cuire des pizzas napolitaines.
Nous avons parlé de l'arrivée au pouvoir de Donald Trump et des conséquences sur la politique américaine et sur la politique mondiale. Ce fut assez déprimant, donc je ne vais pas exposer ce qui a été dit. Juste quelques points périphériques. Il a été question d'un éventuel shutdown. J'ai fait remarquer que ce shutdown ne concerne que le niveau fédéral, pas le niveau des 50 États [ Remarque déjà faite il y a 4 mois ] et d'autre part les forces armées en sont exemptes, elles continuent à fonctionner et à recevoir leurs soldes et leurs budgets de fonctionnement.
Il me semble que par le passé, il a failli y avoir un shutdown des forces armées américaines, ou quelque chose de très similaire. C'était peut-être pendant la Guerre de Sécession, ou plus vraisemblablement pendant la Guerre d'Indépendance. La trésorerie du camp américain (ou nordiste) était presque à sec, ce qui empêcherait le versement des soldes aux militaires. Ceux-ci seraient alors libérés de leur contrat d'engagement et retourneraient dans leurs pénates... Heureusement, de l'argent frais est arrivé et l'armée a pu continuer à fonctionner. Si cet épisode concerne bien la Guerre d'Indépendance, alors l'arrivée des fonds providentiels est due sans doute aux bons offices de Beaumarchais avec Benjamin Franklin.
D'ailleurs, les américains savent-ils ce que leur victoire doit à la France ? La plupart d'entre eux ont entendu parler de la Fayette, mais combien connaissent Rochambeau, de Grasse et Beaumarchais ?
Il faut dire que leur enseignement de l'Histoire est un peu lacunaire. J'ai lu quelque part que dans les écoles américaines, l'Histoire commençait en 1776, sauf dans les écoles huppées, celles avec un enseignement de qualité. Dans ces écoles-ci, c'est en octobre 1492 que la préhistoire s'achevait et que l'Histoire commençait.
Concernant la relation des Américains avec l'Histoire pas tout-à-fait récente, quelqu'un mentionne une vidéo sur Youtube, dans laquelle un américain en vacances en Europe faisait part de son émerveillement lorsqu'il avait découvert un bâtiment construit au XV^e siècle. De plus, ce bâtiment avait été construit sur l'emplacement d'un bâtiment encore plus ancien.
Dans la même lignée, quelqu'un rappelle une citation provenant d'un sigfile :
200 km pour un européen, c'est le bout du monde !
200 ans pour un américain, c'est la nuit des temps !
[ On est quand même en 2025, presque au 250^e anniversaire de l'indépendance des États-Unis. Il faudrait peut-être que l'utilisateur de cette signature passe à 300 ans et 300 km. ]
Si vous avez un adolescent dans votre entourage (enfant, neveu, nièce, voisin), vous pouvez être amenés à l'aider dans ses devoirs de mathématiques. Dans le cas des probabilités, vous découvrerez (ou redécouvrerez) des résultats qui défient l'intuition et des paradoxes. Je profite de ce compte-rendu pour vous présenter le méta-théorème des probabilités.

Le méta-théorème des probabilités

Le méta-théorème des probabilités s'exprime ainsi
Si un paradoxe fait intervenir des probabilités, il y a pifométriquement 95,572 % de chances qu'il soit vrai.
Je vous donne quelques exemples, tout en laissant la démonstration du cas général aux lecteurs à titre d'exercice. Ces exemples sont les suivants : un premier chapitre sur les probabilités inversées de Bayes, un deuxième chapitre sur la loi des grands nombres, un troisième chapitre sur le paradoxe de la cabine téléphonique et un quatrième chapitre sur un « duel à trois » au Far West. Et nous concluons par une remarque sur la loi de Poe. Je n'ai pas repris l'explication du paradoxe de Simpson, ni la remarque sur comment optimiser ses gains au Loto, ni les deux discussions sur un domaine voisin, les statistiques. Je n'évoque pas non plus le paradoxe des anniversaires, qui est assez bien connu, ni les martingales, ni le problème de Linda, qui relève de la psychologie, les probabilités y jouant un rôle juste utilitaire.

Probabilités inversées de Bayes

Lorsque j'étais en terminale scientifique, les probabilités étaient au programme avec, entre autres, les probabilités inversées de Bayes. À cette époque, le Loto se jouait avec 6 boules parmi 49, pas de « numéro chance ». Et on ne connaissait pas encore le SIDA, encore moins le covid, donc lorsque l'on parlait d'une maladie à dépister, on ne précisait pas laquelle. Et lorsque l'on voulait téléphoner alors que l'on n'était ni au travail, ni à la maison, il fallait utiliser une cabine téléphonique.
Un premier exemple, le Loto. Cet exemple est un peu foireux, car Bayes est une explication compliquée pour une situation simple. L'un des slogans du Loto était
100 % des gagnants ont tenté leur chance
D'où vient cette affirmation ?
Avec les règles du Loto à ses débuts, il y a 13_983_816 tickets différents possibles, dont 260_625 ont au moins trois cases cochées correspondant à des boules tirées. La probabilité de gagner est donc légèrement inférieure à 2 %. La France des années 1970 avait dans les 50 millions d'habitants, soit pifométriquement 35 millions qui avaient l'âge requis pour jouer au Loto. Toujours pifométriquement, supposons que 5 millions de personnes jouent pour un tirage donné. Cela donne environ 100_000 gagnants (pas du gros lot, mais des gagnants à 3 cases ou plus). Les probabilités en cause sont donc :
- P(J) = 0,14 probabilité d'avoir tenté sa chance à ce tirage,
- P(N) = 0,86 probabilité de ne pas avoir tenté sa chance à ce tirage,
- P(G/J) = 0,02 probabilité d'avoir gagné, sachant que l'on avait tenté sa chance,
- P(G/N) = 0 probabilité d'avoir gagné, sachant que l'on n'avait pas tenté sa chance,
La formule de Bayes permet de calculer P(J/G), la probabilité d'avoir joué si l'on fait partie des gagnants. Cette formule est :
```
           P(J ∩ G)          P(G/J) × P(J)
  P(J/G) = -------- = -----------------------------
             P(G)     P(G/J) × P(J) + P(G/N) × P(N)
```
Puisque P(G/N) est nul, cette formule se simplifie à « 1 », soit « 100 % ». On voit donc bien que
100 % des gagnants ont tenté leur chance
Bon, utiliser Bayes pour cela, c'est un peu utiliser un marteau-pilon pour écraser une mouche. Néanmoins, vous pouvez constater que cela fonctionne.
Toujours est-il que les personnes visées par cette publicité étaient incitées à inverser la proposition et à penser que la proportion de gagnants parmi les gens tentant leur chance était élevée, même si la proportion n'était pas rigoureusement 100 %. Comme quoi un énoncé juste peut engendrer une impression erronée. Remarquons également qu'à cette époque, les publicitaires faisaient attention à ne pas être accusés de publicité mensongère. Maintenant, il suffit de marquer « exagération publicitaire » en bas de l'écran, en blanc sur fond vert clair et pendant 0,3 seconde et on peut alors raconter n'importe quoi.
Un autre exemple, que j'ai eu en exercice, mais pas forcément avec les valeurs numériques ci-dessous, concerne le dépistage systématique d'une maladie. Supposons qu'une maladie touche un habitant sur 1000 environ. Cela donne donc, en arrondissant un peu les valeurs, 50_000 malades et 50_000_000 personnes saines. Supposons que le test de dépistage occasionne 1 % de faux positifs et 1 % de faux négatifs (ce qui fait que c'est un test beaucoup plus efficace que ceux de la vie réelle). Supposons enfin que l'on décide de soumettre la population entière (50 millions) au dépistage. Les probabilités sont :
- P(M) = 0,001 soit 50_000 malades,
- P(S) = 0,999 soit 50_000_000 personnes saines,
- P(P/M) = 0,99
- P(N/M) = 0,01
- P(P/S) = 0,01
- P(N/S) = 0,99
- P(P ∩ M) = 0,00099, soit 49_500 malades avec un résultat positif,
- P(N ∩ M) = 0,00001, soit 500 malades avec un résultat négatif,
- P(P ∩ S) = 0,0099, soit 500_000 personnes saines avec un résultat positif,
- P(N ∩ S) = 0,9901, soit 49_500_000 personnes saines avec un résultat négatif,
La probabilité d'être malade sachant qu'on a eu un résultat positif est :
```
                P(P ∩ M)      
  P(M/P) = ------------------- = 0,09
           P(P ∩ M) + P(P ∩ S)
```
À l'inverse, la probabilité d'être sain sachant qu'on a eu un résultat positif est :
```
                P(P ∩ S)      
  P(S/P) = ------------------- = 0,91
           P(P ∩ M) + P(P ∩ S)
```
Donc, si vous avez effectué un dépistage et que le résultat est positif, cela signifie que vous avez paradoxalement encore à peu près 9 chances sur 10 d'être en bonne santé ! Certes, c'est moins confortable que les 999 chances sur 1000 d'avant le résultat du dépistage, mais c'est encore loin d'être dramatique. Refaites les calculs avec un taux de faux positifs à 5 % ou 10 %, c'est intéressant...
Connaissez-vous le Bigdil de Lagaf' ? Moi, non, je ne l'ai jamais regardé. En revanche, en lisant sa description dans Wikipedia, je constate que ce jeu s'inspire en partie d'un jeu américain des années 1960, Let's Make a Deal, animé par un certain Monty Hall (l'équivalent de notre Guy Lux ?). Le troisième exemple de probabilités inversées est la phase finale du ce jeu brièvement évoquée lors d'une réunion précédente. Si le candidat avait gagné lors des premières phases du jeu, il se voyait offrir un cadeau aléatoire parmi trois cadeaux cachés chacun derrière une porte opaque. L'un des trois cadeaux avait une valeur importante et les deux autres ne valaient pas tripette. Traditionnellement, lorsque l'on évoque ce problème, les trois cadeaux sont une voiture et deux chèvres. Voici comment se déroulait cette phase.
1. Le candidat choisit l'une des trois portes, mais ne l'ouvre pas.
2. Une assistante colle une étiquette « A » sur la porte choisie par le joueur et des étiquettes « B » et « C » sur les deux autres portes.
3. L'animateur ouvre une porte et montre au joueur et au public le lot derrière cette porte.
4. L'animateur demande au joueur s'il veut modifier son choix.
5. Le joueur modifie son choix, ou pas, ouvre la porte correspondante et remporte le lot.
Remarque. Traditionnellement, l'étape (2) ne figure pas dans la description du problème. Je l'ai ajoutée car elle ne change rien à l'essence du problème, mais elle facilite grandement la discussion.
On a donc deux séries d'événements, les événements « Vx » signifiant « l'étiquette x a été collée sur la porte masquant la voiture » ou, ce qui revient au même, « la voiture se trouve derrière l'étiquette x » et les événements « Ox » signifiant « l'animateur a ouvert la porte x ».
Le but de l'animateur est de faire de l'audience. Pour cela, il cherche à maintenir un certain suspense. Par conséquent, lors de l'étape (3), il n'ouvrira pas la porte A et il n'ouvrira pas la porte derrière laquelle se trouve l'automobile. Le tableau des probabilités conditionnelles P(Ox / Vy) est :

VA VB VC

OA 0 0 0

OB 1/2 0 1

OC 1/2 1 0
Les trois événements Vx ont une probabilité 1/3. La table des probabilités élémentaires P(Vx ∩ Oy) est :

VA VB VC

OA 0 0 0

OB 1/6 0 1/3

OC 1/6 1/3 0
La table des probabilités conditionnelles inverses P(Vx / Oy) (probabilité que la voiture soit derrière l'étiquette x si l'animateur a ouvert la porte y) est :

VA VB VC

OA 0 0 0

OB 1/3 0 2/3

OC 1/3 2/3 0
On constate donc que si l'animateur a ouvert la porte B, la voiture a deux fois plus de chances de se trouver derrière la porte C que derrière la porte A. De même, si l'animateur a ouvert la porte C, la voiture a deux fois plus de chances de se trouver derrière la porte B que derrière la porte A. Dans l'étape 5, le joueur a donc intérêt à modifier son choix.
Ce n'est pas intuitif, mais c'est une application directe du méta-théorème. Je ne suis donc pas étonné du résultat final. Ce qui m'étonne plus, c'est le folklore autour de ce problème. On raconte que de nombreux mathématiciens refusent d'admettre le résultat final (on cite même Paul Erdős). J'ai du mal à croire que des savants de cet acabit ne connaissent pas le méta-théorème des probabilités et j'ai du mal à croire qu'ils se fassent piéger par un problème de niveau terminale scientifique.
Dans les livres et les pages web traitant de ce sujet, il arrive souvent que le sujet soit présenté une deuxième fois en augmentant le nombre de portes à 100, dont 98 portes ouvertes lors de l'étape (3). Franchement, pour moi, cela n'apporte rien. Avec mes souvenirs de terminale et mes trois tableaux à 4 lignes et 4 colonnes, l'explication me semble suffisamment claire. Cela dit, vous pouvez préférer revoir les explications avec cette variante à 100 portes. Je vous laisse chercher et consulter les pages web (ou les livres) correspondants. Ne comptez pas sur moi pour composer des tableaux à 4951 lignes et 101 colonnes. Pourquoi 4951? parce qu'il faut une ligne d'en-tête plus 4950 lignes de données. En effet, les événements Ox deviennent « ouvrir les portes B, D, E, F... CT, CU et CV » ou bien « ouvrir toutes les portes sauf A et C » et pour compter les événement Ox, il faut utiliser le coefficient binomial C(100, 98), qui est égal à C(100, 2) et à 4950.

Loi des grands nombres

Pour évoquer la loi des grands nombres, je prends l'exemple traditionnel du lancer répétitif d'une pièce équilibrée. D'autre part, il sera question à un moment du test du χ². Ne prenez pas ce passage pour un exposé mathématique fiable et faisant autorité. Je n'ai pas sorti mes polys vieux de plus de quarante ans, je n'ai pas cherché de tuto sur Internet, j'ai juste utilisé une formulation qui me semble à peu près correcte, mais qui peut être plus ou moins à côté de la plaque.
Supposons que l'on ait lancé la pièce 10 fois et que le résultat soit 8 fois pile et 2 fois face. Pour de nombreuses personnes, la loi des grands nombres se concrétise par :
Si l'on lance la pièce une onzième fois, il y a 95 % de chances qu'elle tombe sur le côté face, pour rééquilibrer le résultat.
Le pourcentage 95 % pouvant être remplacé par un autre selon l'individu qui énonce cette affirmation. Si l'on peut considérer que les 10 lancers déjà effectués sont un grand nombre de lancers, on ne peut pas affirmer que l'unique lancer à effectuer constitue un grand nombre de lancer(s). Cet énoncé n'a donc rien à voir avec la loi des grands nombres, c'est une affirmation fallacieuse qui repose sur des préjugés foireux. Son véritable nom est « le principe de maturité des chances » et j'ai trouvé une seule référence à cette notion sur Internet.
D'autres personnes font intervenir la « loi des séries », selon laquelle
Si l'on lance la pièce une onzième fois, il y a 95 % de chances qu'elle tombe de nouveau sur le côté pile.
Telle quelle, cette affirmation est tout aussi fallacieuse que la première. Néanmoins, si l'individu invoquant la loi des séries réduit légèrement le pourcentage et continue par
Car j'émets des doutes sur l'hypothèse que la pièce est équilibrée. Il faudrait appliquer le test du χ² pour voir si les dix premiers tirages sont compatibles avec une pièce équilibrée ou s'ils sont compatibles avec une pièce favorisant le résultat pile.
alors j'ai plus tendance à avoir confiance en cet interlocuteur. Cela dit, le test du χ² n'était pas au programme de la terminale à mon époque et par la suite, c'est une partie du cours que je n'ai pas bien assimilée et que je n'ai pas retenue.

Pour analyser de façon valable la loi des grands nombres, il faut des grands nombres. Dans le cas de l'expérience que j'ai choisie, il faut un grand nombre de lancers déjà effectués et un grand nombre de lancers à effectuer. Comme nous avons déjà 10 lancers effectués, prenons également 10 lancers à effectuer, numérotés 11 à 20. Est-ce que les 10 nouveaux lancers rééquilibreront la fréquence concrète des résultats pile (0,8 avant les nouveaux lancers) et la rapprocheront de la probabilité théorique (0,5) ? Voici le tableau des différentes possibilités pour les 10 lancers.

Lancers 11 à 20	Probabilité	Résultat global	Fréquence de pile	Rééquilibrage ?
0P 10F	1/1024 = 1e-3	8P 12F	0,4	oui (a)
1P 9F	10/1024 = 0,01	9P 11F	0,45	oui (a)
2P 8F	45/1024 = 0,04	10P 10F	0,5	oui
3P 7F	120/1024 = 0,12	11P 9F	0,55	oui
4P 6F	210/1024 = 0,21	12P 8F	0,6	oui
5P 5F	252/1024 = 0,24	13P 7F	0,65	oui
6P 4F	210/1024 = 0,21	14P 6F	0,7	oui (b)
7P 3F	120/1024 = 0,12	15P 5F	0,75	oui (b)
8P 2F	45/1024 = 0,04	16P 4F	0,8	non
9P 1F	10/1024 = 0,01	17P 3F	0,85	non (c)
10P 0F	1/1024 = 1e-3	18P 2F	0,9	non (c)

Comme on peut le voir, il y a 968 chances sur 1024 d'obtenir un rééquilibrage et 56 chances sur 1024 de ne pas avoir ce rééquilibrage. Même, dans les cas (c), soit 11 cas sur 1024, le déséquilibre s'aggrave. On peut également voir que dans les cas (a), le déséquilibre s'est inversé en faveur des résultats face, tout en restant moins marqué que le déséquilibre d'origine. Finalement, la remarque la plus importante concerne les cas (b), qui font apparaître le paradoxe de la loi des grands nombres. Les lancers 11 à 20 donnent plus de résultats pile que de résultats face et pourtant ils conduisent à un rééquilibrage de la fréquence totale par rapport à la probabilité théorique. En valeur absolue (nombre de lancers) le déséquilibre s'est aggravé tandis qu'en valeur relative (fréquence) il s'est amoindri.

Paradoxe de la cabine téléphonique

Voici un paradoxe que les plus jeunes, ceux qui ont toujours vu leurs parents avec un téléphone portable, auront du mal à comprendre. Si vous avez vécu en France dans les années 1970 et 1980, vous avez connu les cabines téléphoniques à pièces. Si vous avez vécu en France dans les années 1980 et 1990, vous avez connu les cabines téléphoniques à carte à puce. Imaginez la situation suivante. À 17h, votre voisin Basile, un bavard invétéré, entre dans une cabine téléphonique. Une minute après, Geneviève, une autre voisine, arrive à la cabine téléphonique et commence à attendre. Vous lui dites :
-- Pas de chance, vous allez attendre longtemps !
-- Sachant que les conversations de Basile ont une durée obéissant à une loi exponentielle avec une constante de temps de 20 minutes (ou, ce qui revient au même, que ses conversations ont une demi-vie de 13 minutes et 52 secondes), je peux espérer avoir accès à la cabine dans 20 minutes.
Vous repassez à 17h15. Basile est encore en train de parler et Geneviève est encore en train d'attendre.
-- Alors, plus que cinq minutes d'attente ?
-- Non, il doit rester en moyenne 20 minutes.
Que faut-il penser de la réponse de Geneviève ? Pourquoi la réponse de 5 minutes ne lui semble pas correcte ?
Avant de donner la réponse, voici un petit rappel sur les lois de probabilité exponentielles. En théorie, les lois exponentielles ne sont pas réservées à des mesures temporelles, mais en pratique, tous les exemples concrets que j'ai rencontrés en exercice portaient sur des mesures de durée : conversations téléphoniques, désintégration des atomes de carbone 14, etc. En prenant le paramètre temporel de 20 minutes ou la demi-vie de 13 min 52 s, on a les probabilités suivantes.
- il y a une chance sur 2 que la conversation dure 13 min 52 s ou plus,
- il y a une chance sur 2,718 que la conversation dure 20 min ou plus,
- il y a une chance sur 4 que la conversation dure 27 min 44 s ou plus,
- il y a une chance sur 2,718² que la conversation dure 40 min ou plus,
- il y a une chance sur 8 que la conversation dure 41 min 36 s ou plus,
- il y a une chance sur 2,718³ que la conversation dure 1 heure ou plus.
Et l'espérance mathématique de la variable aléatoire « durée de la conversation » est égale à 20 minutes.
Et maintenant, voici la réponse. Dans la conversation de 17h01, Geneviève utilise l'espérance de la loi correspondant à la probabilité P(X > n) qui vaut, comme je viens de l'écrire, 20 minutes. À 17h15, étant donné que Basile est encore en train de téléphoner, Geneviève utilise les probabilités conditionnelles P(X > n / X > 15). Or la particularité des probabilités conditionnelles pour la loi exponentielle, c'est que
```
  P(X > 20 / X > 15) = P(X > 5)
  P(X > 25 / X > 15) = P(X > 10)
  P(X > 35 / X > 15) = P(X > 20)
  P(X > n  / X > 15) = P(X > n - 15)
```
Donc, si l'on suppose que Basile est encore là à 17h15, la situation a subi, si l'on peut dire, une translation temporelle de 15 minutes. Le paradoxe est que dans l'hypothèse de la présence de Basile, la situation à 17h15 est exactement la même qu'à 17h.
En supposant qu'à 19h Basile est encore en train de parler et que Geneviève est encore en train d'attendre, Geneviève peut encore dire qu'elle en a pour 20 minutes d'attente en moyenne. La probabilité que Basile ait quitté la cabine téléphonique pendant l'intervalle de 15 minutes entre 17h et 17h15 est différente de la probabilité que Basile ait quitté la cabine pendant l'intervalle de 120 minutes entre 17h et 19h, mais s'il est resté dans la cabine, la probabilité conditionnelle est la même, quelle que soit la durée de votre absence.
```
  P(X > 125 / X > 120) = P(X > 20 / X > 15) = P(X > 5)
  P(X > 130 / X > 120) = P(X > 25 / X > 15) = P(X > 10)
  P(X > 140 / X > 120) = P(X > 35 / X > 15) = P(X > 20)
```
Ou alors, pour reprendre l'autre exemple de loi exponentielle, si vous comparez un atome de carbone-14 dans un os de mammouth enseveli depuis 5 millions d'années avec un atome de carbone-14 de la stratosphère qui était, il y a seulement quelques micro-secondes, un atome d'azote qui se trouvait malencontreusement sur la trajectoire d'un neutron, alors l'atome paléontologique est tout aussi « frais » et tout aussi « neuf » que l'atome de carbone-14 stratosphérique.
Et, à l'occasion de la rédaction de ce compte-rendu, je viens enfin de comprendre comment fonctionne la recherche sur la fusion contrôlée, déjà évoquée précédemment. La recherche sur la fusion contrôlée fonctionne comme les conversations de Basile et comme les atomes de carbone-14, avec une loi de probabilité exponentielle. La constante de temps est 20 minutes pour Basile, 8267 ans pour le carbone 14 (c'est-à-dire une demi-vie de 5730 ans) et 30 ans pour la recherche sur la fusion contrôlée.

Paradoxe du duel à trois

À proprement parler, ce paradoxe n'est pas un paradoxe des probabilités, c'est plutôt un paradoxe faisant intervenir des probabilités. Je pense qu'il relève de la théorie des jeux, que je n'ai pas étudiée à l'école. J'ai dû le découvrir en lisant la rubrique « récréations mathématiques » de Pour la Science ou similaire. Je ne me souviens pas de l'explication complète, mais je me souviens au moins des hypothèses de départ et du résultat final.
La scène se passe dans le Far-West. Trois individus s'affrontent dans un duel à trois (parfois assimilé à une impasse mexicaine, même s'il s'agit de quelque chose d'autre). Non, il ne s'agit pas de Blondin, Sentenza et Tuco, mais cela y ressemble. Et pour une fois je n'appellerai pas les protagonistes Basile, Geneviève et Odilon, mais Archie, Billy et Charlie.
Les aptitudes des trois tireurs sont différentes. À cette distance, Archie touche toujours sa cible, Billy a une probabilité de réussite de 80 % et Charlie atteint sa cible une fois sur deux.
Il ne s'agit pas d'un duel où il faut tirer plus vite que son ombre. En fait, on définit un ordre de tir, tel que « BAC ». Cela veut dire que dans un premier temps, Billy tire une balle sans que les autres réagissent. Dans un deuxième temps, Archie, s'il est encore vivant, a le droit de tirer une balle. Et c'est ensuite au tour de Charlie de pouvoir tirer une seule balle, bien entendu si lui aussi est vivant. Si nécessaire, on reprend le cycle BAC au début. L'ordre de tir n'est pas un événement aléatoire, c'est un paramètre choisi par un arbitre impartial. La question est : qui a la probabilité la plus forte de survivre pour les divers ordres de tir possibles ?
Commençons par examiner les duels. La probabilité de survivre à tel ou tel duel est :

Duel A B C

AB 1 0

AC 1 0

BA 1/5 4/5

BC 8/9 1/9

CA 1/2 1/2

CB 4/9 5/9

Une remarque sur le duel CB. Si chacun tire une seule balle, il y a une chance sur dix que Billy et Charlie soient encore vivants. Mais le processus de duel est itératif et ils peuvent donc tirer une deuxième balle, puis une troisième, etc. Lorsqu'ils auront tous les deux vidé leur barillet de six cartouches, il y a une chance sur un million, exactement, qu'ils survivent. On suppose toutefois qu'ils ont des ressources illimitées en munitions, ce qui fait que les probabilités finales, après un nombre infini de cycles, sont 5/9 pour la survie de Charlie et 4/9 pour la survie de Billy. Le même raisonnement s'applique au duel BC, avec une probabilité finale de 8/9 pour Billy et une probabilité de 1/9 pour Charlie.
Examinons maintenant les « duels à trois » où c'est Archie qui tire le premier. Je présente les données dans un tableau en art-ASCII, principalement parce que les attributs rowspan de HTML sont assez pénibles à utiliser, beaucoup plus que colspan. Une raison annexe est que cela me permet de représenter des traits horizontaux d'importances différentes, en utilisant des lignes de « = » ou des lignes de tirets.

Duel	A	B	C
AB	1	0
AC	1		0
BA	1/5	4/5
BC		8/9	1/9
CA	1/2		1/2
CB		4/9	5/9

Tout d'abord, lorsqu'Archie est le premier à tirer. Les probabilités sont

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  ABC      A → B          CA                       1/2            0          1/2
           ----------------------------------------------------------------------------
           A → C          BA                       1/5           4/5          0
  =====================================================================================
  ACB      A → B          CA                       1/2            0          1/2
           ----------------------------------------------------------------------------
           A → C          BA                       1/5           4/5          0
  =====================================================================================

La colonne « Rés. interm. », au cas où vous ne l'auriez pas deviné, donne le résultat intermédiaire, c'est-à-dire la nouvelle situation après le premier coup de feu. Archie cherchant à survivre le mieux possible, il va choisir dans les deux cas de tirer sur Billy plutôt que sur Charlie. Cela simplifie le tableau ainsi :

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  ABC      A → B          CA                       1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  ACB      A → B          CA                       1/2            0          1/2
  =====================================================================================

Examinons les cas où Billy est le premier à tirer. C'est un peu plus délicat, car il n'est pas certain que le coup porte. Cela implique donc un calcul de probabilités. De plus, comme on ne connaît pas les probabilités finales du résultat intermédiaire CAB, on est obligé de calculer avec un intervalle.

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  BAC      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      ACB (1/5)                    1/10           0          1/10
                                         total     1/10         16/45       49/90
           ----------------------------------------------------------------------------
           B → C      AB  (4/5)                    4/5            0           0
                      ACB (1/5)                    1/10           0          1/10
                                         total     9/10           0          1/10
  =====================================================================================
  BCA      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      CAB (1/5)                  0  à 1/5     0   à 1/5    0  à 1/5
                                         total   0  à 1/5   16/45 à 5/9   4/9 à 29/45
           ----------------------------------------------------------------------------
           B → C      AB  (4/5)                    4/5            0           0
                      CAB (1/5)                  0  à 1/5     0   à 1/5    0  à 1/5
                                         total  4/5 à  1      0   à 1/5    0  à 1/5
  =====================================================================================

Ici, la décision appartient à Billy, donc c'est Billy qui cherche à optimiser ses chances de survie. Par exemple, dans le cas BCA, Billy préférera une probabilité de 16/45 (ou plus) à une probabilité de 1/5 (ou moins). Billy choisira donc de tirer sur Archie. Le tableau est donc simplifié ainsi :

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  BAC      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      ACB (1/5)                    1/10           0          1/10
                                         total     1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================
  BCA      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      CAB (1/5)                  0  à 1/5     0   à 1/5    0  à 1/5
                                         total   0  à 1/5   16/45 à 5/9   4/9 à 29/45
  =====================================================================================

Maintenant, prenons les cas où Charlie tire le premier. Le tableau avant décision donne :

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  CAB      C → A      BC  (1/2)                     0            4/9         1/18
                      ABC (1/2)                    1/4            0          1/4
                                         total     1/4           4/9        11/36
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → B      AC  (1/2)                    1/2            0           0
                      ABC (1/2)                    1/4            0          1/4
                                         total     3/4            0          1/4
  =====================================================================================
  CBA      C → A      BC  (1/2)                     0            4/9         1/18
                      BAC (1/2)                    1/20          8/45       49/180
                                         total     1/20         28/45       59/180 
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → B      AC  (1/2)                    1/2            0           0
                      BAC (1/2)                    1/20          8/45       49/180
                                         total    11/20          8/45       49/180 
  =====================================================================================

La décision semble claire. Dans le cas CAB, il vaut mieux tirer sur A que sur B, car 11/36 est meilleur que 1/4 et dans le cas CBA également il vaut mieux tirer sur A que sur B, car 59/180 est préférable à 49/180. Le cas est réglé. Éh bien non, le cas n'est pas réglé. Charlie peut procéder autrement et tirer en l'air. Voici ce que donne le tableau

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  CAB      C → A      BC  (1/2)                     0            4/9         1/18
                      ABC (1/2)                    1/4            0          1/4
                                         total     1/4           4/9        11/36
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → B      AC  (1/2)                    1/2            0           0
                      ABC (1/2)                    1/4            0          1/4
                                         total     3/4            0          1/4
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → ∅        ABC                        1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  CBA      C → A      BC  (1/2)                     0            4/9         1/18
                      BAC (1/2)                    1/20          8/45       49/180
                                         total     1/20         28/45       59/180 
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → B      AC  (1/2)                    1/2            0           0
                      BAC (1/2)                    1/20          8/45       49/180
                                         total    11/20          8/45       49/180 
           ----------------------------------------------------------------------------
           C → ∅        BAC                        1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================

Le tableau après décision est donc :

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  CAB      C → ∅        ABC                        1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  CBA      C → ∅        BAC                        1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================

Synthèse, le tableau complet après décision est :

  =====================================================================================
  Duel   Décision   Rés. interm.  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  ABC      A → B         CA                        1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  ACB      A → B         CA                        1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  BAC      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      ACB (1/5)                    1/10           0          1/10
                                         total     1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================
  BCA      B → A      CB  (4/5)                     0           16/45        4/9
                      CAB (1/5)                    1/10           0          1/10
                                         total     1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================
  CAB      C → ∅        ABC                        1/2            0          1/2
  =====================================================================================
  CBA      C → ∅        BAC                        1/10         16/45       49/90
  =====================================================================================

et on voit ainsi que Charlie a toujours au moins une chance sur deux de survivre et donc que c'est paradoxalement le plus mauvais tireur qui a la meilleure espérance de vie.

Au début, j'ai écrit que l'ordre de tir initial, « BAC » ou autre, était un paramètre choisi par un arbitre impartial. Cela permet d'éviter une accumulation de probabilités qui obscurcit les explications sans apporter de bénéfice réel. Toutefois, si d'aventure vous rencontrez ce problème avec l'hypothèse que la situation initiale est aléatoire, commencez vos explications par :

Dans un premier temps, nous faisons comme si la situation initiale est choisie par un arbitre impartial.

Puis reprenez toutes les explications ci-dessus et terminez avec :

En revenant sur le problème de départ, où la situation est tirée aléatoirement, le tableau permettant de calculer les probabilités de survie est :

  =====================================================================================
  Duel  probabilité Décision  Survie finale :   A             B           C
  =====================================================================================
  ABC       1/6       A → B                    1/12           0          1/12
  ACB       1/6       A → B                    1/12           0          1/12
  BAC       1/6       B → A                    1/60         16/270      49/540
  BCA       1/6       B → A                    1/60         16/270      49/540
  CAB       1/6       C → ∅                    1/12           0          1/12
  CBA       1/6       C → ∅                    1/60         16/270      49/540
                                    total      3/10          8/45       47/90
  =====================================================================================

Bibliographie

Cette bibliographie reprend les exemples cités ci-dessus, mais aussi les sujets que je n'ai pas repris (statistiques, paradoxe de Simpson, paradoxe des anniversaires).
La Forme scientifique du mensonge ? par Jean-Louis Boursin, 1978, Éditions Tchou, ISBN 2-7107-0078-6 pour les statistiques et leurs représentations graphiques.
Le Livre des paradoxes par Nicholas Falletta, 1983, trad Jean-François Hamel, 1985, Éditions Pierre Belfond, ISBN 2.7144.1789.3, traitant des martingales, du paradoxe des anniversaires et du paradoxe de Simpson.
200 % of Nothing par A.K. Dewdney, 1993, Éditions Wiley, ISBN 0-471-57776-6 pour les statistiques et leurs représentations graphiques.
Fermat's Enigma de Simon Singh, 1997, Éditions Walker, ISBN 0-8027-1331-9 pour le duel à trois (chapitre 4 Into Abstraction, paragraphe The Brute Force Approach).
Hexaflexagons, Probability, Paradoxes and the Tower of Hanoi par Martin Gardner, 2008, Éditions Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-75615-0 pour l'édition reliée et 978-0-521-73525-4 pour l'édition brochée, traitant du paradoxe des anniversaires.
Mon Cabinet de curiosités mathématiques par Ian Stewart, 2008, traduction Laurence Decréau (et Anthony Truchet), 2009, Éditions Flamarion, ISBN 978-2-0812-2534-3 pour le problème de Monty Hall.
Mathématiques et mystères par Jean-Paul Delahaye, 2016, Éditions Belin, collection Pour la Science, ISBN 978-2-410-00236-2 pour le paradoxe de Simpson.
Very Math Trip de Manu Houdart, 2019, Éditions Flammarion, ISBN 978-2-0814-8878-6 pour le paradoxe des anniversaires et pour le problème de Monty Hall.
Les nombres remarquables, par François Le Lionnais, 1983, Éditions Hermann, ISBN 2 7056 1407 9 mentionnant le paradoxe des anniversaires à l'entrée « 23 ».
Le dictionnaire Penguin des nombres curieux, par David Wells, 1968, traduit par Marc Genevrier, 1995, Éditions Eyrolles, ISBN 2-212-03636-1 mentionnant le paradoxe des anniversaires à l'entrée « 23 ».
Le dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, par Daniel Lignon, 2023, Ellipses Éditions Marketing, ISBN 9782340-085039, mentionnant le paradoxe des anniversaires à l'entrée « 23 ».
Après coup, je constate que trois références seulement traitent d'un problème présenté dans ce compte-rendu. Toutes les autres références traitent de problèmes que je n'ai pas repris ou que j'ai laissés de côté. Tant pis. Vous pouvez vous rattrapper avec des pages web en demandant à un moteur de recherche.

La loi de Poe

La loi de Poe (qui ne doit rien à Edgar), indique que si une page web présente un passage satirique ou ironique et qu'elle ne comporte pas une mention exposant clairement son caractère satirique, alors une proportion certaine de visiteurs ne saisiront pas la satire ou l'ironie et prendront le contenu de la page web au premier degré. À l'inverse, en lisant une page web sincère avec un contenu outrancier, certains visiteurs y trouveront un caractère ironique ou satirique totalement étranger aux intentions de l'auteur. En conséquence, je préfère mettre les choses au point.
La comparaison des horaires de la ligne E avec celle du métro marseillais n'est pas de moi. Je pense néanmoins que c'était une exagération ironique.
L'ancienne numérotation de la chaîne Gulli ne correspond pas à un choix délibéré des autorités audio-visuelles. Si l'ancien numéro est le même que celui des pompiers, c'est juste une coïncidence qui a permis d'obtenir un moyen mnémotechnique.
Le méta-théorème des probabilités n'existe pas. Ou plutôt, c'est une opinion personnelle qui ne mérite pas d'être appelée « théorème ». La valeur numérique de la probabilité est complètement fantaisiste (ce qui était suggéré par l'adverbe « pifométriquement ») et l'existence d'une démonstration également.
La remarque sur l'exagération publicitaire ne doit pas être prise à la lettre. Je ne saurai pas dire quelles sont les couleurs utilisées pour la mention et pour le fond d'écran et la durée d'affichage est pifométrique.
La remarque sur la fusion contrôlée n'est pas un fait mathématique que je viens de comprendre. C'est une réaction désabusée sur les promesses successives que j'ai lues ou entendues depuis que j'ai l'âge de savoir ce qu'est la fusion contrôlée.
En revanche, tout le reste du chapitre sur les probabilités est réel.

	VA	VB	VC
OA	0	0	0
OB	1/6	0	1/3
OC	1/6	1/3	0

	VA	VB	VC
OA	0	0	0
OB	1/3	0	2/3
OC	1/3	2/3	0